Презентация на тему: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве

22.11.2023

Cлайд 1

Cлайд 2

Цели урока: Ввести определение скрещивающихся прямых. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.

Cлайд 3

Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a ∩ b a || b Лежат в одной плоскости!

Cлайд 4

??? Дан куб АВСDA1B1C1D1 Являются ли параллельными прямые АА1 и DD1; АА1 и СС1 ? Почему? АА1 || DD1, как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Cлайд 5

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a b

Cлайд 6

Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ α, СD ∩ α = С, С АВ. a b Доказательство: Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β. Доказать, что АВ Скрещивается с СD А В С D α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с СD. Ч.т.д.

Cлайд 7

Закрепление изученной теоремы: Определить взаимное расположение прямых АВ1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА1В1В 3. Является ли прямая АВ1 параллельной плоскости DD1С1С?

Cлайд 8

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с СD. Построить α: АВ α, СD || α. А В C D Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || СD. Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α. АВ α, СD || α. α – единственная плоскость. Доказать, что α – единственная. 3. Доказательство: α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.

Cлайд 9

Задача. Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b. Построение: Через точку К провести прямую а1 || а. 2. Через точку К провести прямую b1 || b. а b К а1 b1 3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Слайд 2

Все построения на плоскости производятся чертежными инструментами и построения получаются точными, а вот выполнять построения в пространстве можно схематически. Поэтому термины «провести плоскость (прямую)» употребляют в смысле «доказать существование плоскости (прямой)», удовлетворяющей поставленным условиям.

Слайд 3: Возможные расположения прямых в пространстве:

Слайд 4

4 b a b Три случая взаимного расположения прямых в пространстве n m l p n m l p II a

Слайд 5

прямые в пространстве Имеют общую точку Не имеют общих точек пересекаются параллельны скрещиваются

Слайд 6

Определение: Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают. Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Определение: Две прямые называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Слайд 7: Задача: Через данную точку К провести прямую, параллельную данной прямой а

Дано: К  a Доказать:  ! b: К  b, b  a Доказательство: Построение 1.Проведем через прямую a и т. К плоскость α. (по Сл.1) 2.Проведем через т. К в плоскости α прямую b, b  a.(А планиметрии) Единственность (от противного) 1.Пусть  b 1: К  b 1, b 1  a.Через прямые a и b 1 можно провести плоскость α 1 (по Сл.3) 2. Прямая a, т.К  α 1 ;  α 1 = α (по точке и прямой в пространстве) (СЛ.1). 3.  b = b 1 (А параллельных прямых). Теорема доказана. К a b

Слайд 8

ТЕОРЕМА 1. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются. Обратите внимание: через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость. Дано: Доказать: a А

Слайд 9

II. Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g

Слайд 10

a с Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.  b К

Слайд 11

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости. Рассмотрим следующий признак параллельности прямой и плоскости

Слайд 12

ТЕОРЕМА 2. Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны. Дано: Доказать:

Слайд 13

ТЕОРЕМА 3 (обратная) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Дано:  β ∩ α = Доказать:  Доказательство: 1) а, b  β а не может ∩ b, так как иначе а ∩ α, что противоречит условию. Следовательно а  в α Теорема доказана.

Слайд 14

ТЕОРЕМА 4. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых. Дано: Доказательство: Доказать: а  b α  β = с с  а, c  b α Через а проведена α, через b – β, причем α ∩ β = с По признаку || прямой и плоскости а || β, тогда с  а (Т.3) Аналогично доказывается с|| b

Слайд 15

Доказательство: Рассмотрим случай. в, с  β; а, с  α 1. Возьмем т.М, М  а Через т.М и с проведем плоскость α, b и М проведем плоскость β; 2. Т 4: α  β = MN (линия пересечения плоскостей  b и с) 3. Через т.М нельзя провести двух различных прямых с, поэтому MN и а совпадают. 4. Но так как (MN)  b, то и а  b  в  с Теорема доказана. Теорема 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Дано: а  с, b  c Доказать: а  b α М N

Слайд 16

а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

Слайд 17

Способы задания плоскостей Рисунок Как в пространстве можно однозначно задать плоскость? 1. По трем точкам 2. По прямой и не принадлежащей ей точке. 3. По двум пересекающимся прямым. 4. По двум параллельным прямым.

Взаимное расположение прямых в пространстве Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: - прямые пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку - прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются - прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости

А 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Свойство, выраженное в аксиоме А 2, используется для проверки « ровности » чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких - то местах между ними и поверхностью стола образуется просвет.

А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

Параллельность прямой и плоскости Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно А2 вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит плоскости б) прямая и плоскость имеют одну общую точку, т. е. пересекаются в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

Параллельность плоскостей Итак, мы знаем что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома А3). Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки. Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола.

Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство Рассмотрим две плоскости и β. В плоскости лежат пересекающиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β- прямые a 1 и b 1, причем а а 1 и b 1. Докажем, что β. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а β и b β. Допустим, что плоскости и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой. Отсюда следует (по свойству 1 0) что прямые а и с параллельны. Но плоскость проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b с. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и b, параллельны прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и, следовательно, β. Теорема доказана..

1.Параллельные прямые
2.Пересекающиеся прямые
3.Скрещивающиеся прямые

1)Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.

2)Признаки Параллельности:
I. Две прямые, параллельные третьей параллельны.
II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Две прямые называются пересекающимися если они имеют общую точку.

Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.

1) Параллельные плоскости
2) Пересекающиеся плоскости

Плоскости, не имеющие общих точек, называются Параллельными

Плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются и не имеют общих точек

Плоскость и прямая называются пересекающимися, если они имеют общую точку пересечения

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Ответьте на вопросы:

Да

Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α . Верно ли, что прямая т параллельна плоскости β ?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?