Во всех четырех случаях мы рассматривали моменты инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции этих тел. С помощью теоремы Штейнера можно найти моменты инерции тел относительно других произвольных осей, что бывает необходимо, ибо вращение не всегда бывает относительно центра инерции.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

(- расстояние между осямиzиc).

Доказательство:

(по определению)

Видно, что
(по определению)

(т.к.
)

Таким образом,

§14. Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть к твердому телу с неподвижной осью вращения в некоторой точке приложена сила
.

Тогда если точка А совершает элементарное перемещение , то элементарная работа силы равна Представим силу в виде суммы двух сил, одна из которых параллельна оси вращенияz(), а другая перпендикулярна осиz().

Тогда элементарная работа .

Точка , как и все точки тела, движется по окружности, плоскость которой перпендикулярна осиz, а значит
соединяет две точки этой окружности и также лежит в плоскости, перпендикулярной осиz, а значит и вектору, т.е.
. Следовательно,
,

где - угол между векторамии
.

Рассмотрим вид сверху.

В силу того, что : . Вектор в силу малости . , как углы с взаимно перпендикулярными лучами.

где
.

Опр.

Величина , равная расстоянию от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения, называется плечом силы.

Опр.

Величина произведения проекции силы на плоскость вращения () и плеча силыназывается моментом силы относительно оси вращенияz.

Если сила
, приложенная к телу, приводит к увеличению угла поворота (т.е. к вращению тела по выбранному положительному направлению вращения), то момент такой силы является величиной положительной. Если же сила приводит к уменьшению угла, то момент силы отрицателен. Исходя из того, что величина элементарной работы равна
, то, согласно теореме о кинетической энергии (

), приравнивая правые части уравнений получим:

(Т.к.
и
)

Это и есть основной закон динамики вращательного движения.

Формулировка закона:

Момент силы относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения.

Легко можно показать, что если на тело, закрепленное вокруг оси вращения, действует множество сил с различными моментами, то алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения равна произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения:

§15. Момент импульса.

Закон сохранения момента импульса

Поступательное движение	Вращательное движение
Продолжая аналогию можно предположить, что

-момент импульса вращающегося вокруг осиzтела.

Действительно

=>
=>
, Видно, если
, то

Таким образом, если алгебраическая сума моментов всех сил, приложенных к телу, относительно оси вращения равна 0, то момент импульса относительно этой оси есть величина постоянная.

Легко доказать, что таким же образом сохраняется момент импульса системы тел, вращающихся вокруг данной оси с различными угловыми скоростями , а не одного только твердого тела.

Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса замкнутой системы тел относительно произвольной оси есть величина постоянная.

В заключении рассмотрим частные случаи в решении задач при определении момента импульса тела, размерами которого, по сравнению с расстоянием до оси вращения, можно пренебречь.

1. Материальная точка вращается по окружности.

2. Если точечное тело движется в произвольном направлении относительно оси вращения.

, где - расстояние от линии, направленной вдоль скорости тела до оси.

Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:

Рис. 26.

К определению момента инерции точки.

Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.

В результате получается следующее выражение:

Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

Размерность момента инерции - кг*м 2 .

Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.

Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :

Момент инерции шара радиуса R :

Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции (J) относительно оси, вокруг которой происходит вращение.

Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которая равна произведению масс материальных точек () на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела, на квадраты расстояний () от них до оси вращения:

где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.

Для однородного тела выражение (2) можно представить как:

Момент инерции в международной системе единиц измеряется в:

Величина J входит в основные законы, при помощи которых описывают вращение твердого тела.

В общем случае величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключением является момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В таком случае момент инерции остается постоянным.

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера дает возможность вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, когда является известным момент инерции рассматриваемого тела по отношению к оси, проходящей через центр масс этого тела и эти оси являются параллельными. В математическом виде теорема Штейнера представляется как:

где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m - масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны. Из выражения (4) следует, что:

Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела

При вращении вокруг оси материальная точка имеет момент инерции равный:

где m - масса точки; r - расстояние от точки до оси вращения.

Для однородного тонкого стержня массой m и длиной l J относительно оси, проходящей через его центр масс (ось перпендикулярна стержню), равен:

Тонкое кольцо, с массой вращающееся около оси, которая проходит через его центр, перпендикулярно плоскости кольца, то момент инерции вычисляется как:

где R - радиус кольца.

Круглый однородный диск, радиуса R и массы m имеет J относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равный:

Для однородного шара

где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.

Если осями вращения являются оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:

где - координаты бесконечно малого элемента тела.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Два шарика, которые можно считать точечными, скреплены тонким невесомым стержнем. Длина стержня l. Каков момент инерции данной системы, по отношению к оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс. Массы точек одинаковы и равны m.
Решение	Найдем момент инерции одного шарика () относительно оси, находящейся от него на расстоянии : Момент инерции второго шарика будет равен : Суммарный момент инерции системы равен сумме:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Каков момент инерции физического маятника относительно оси, которая проходит через точку O (рис.1)? Ось перепендикулярна плоскости рисунка. Считайте, что физический маятник состоит из тонкого стержня длины l, имеющего массу m и диска массы . Диск прикреплен к нижнему концу стержня и имеет радиус равный
Решение	Момент инерции нашего маятника (J) будет равен сумме момента инерции стержня (), вращающегося относительно оси, проходящей через точку О и диска (), вращающегося вокруг той же оси:

Моментом инерции системы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

Момент инерции материальной точки:

относительно данной оси – скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расст. от этой точки до оси (J=mr 2 , m – масса точки; r – расстояние от точки до оси)

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера - формулировка

Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле (1):

Где в формуле принимаем соответственно величины: d – расстояние между осями ОО1║О’O1’;
J0 – момент инерции тела, рассчитанный относительно оси, что проходит сквозь центр масс и будет определяться соотношением (2):

J0 = Jd = mR2/2 (2)

Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O’O’, равен

Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.

10) момент импульса закон сохранения момента импульса

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p =mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор,

Рис.1

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L z , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса r i со скоростью v i . Скорость v i и импульс m i v i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора m i v i . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел, которая остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

Основной закон сохранения, динамика твердого тела

Динамика твердого тела

Вращение вокруг неподвижной оси. Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен

Направление проекции совпадает с направлением т.е. определяется по правилу буравчика. Величина

называется моментом инерции твердого тела относительно Продифференцировав , получим

Это уравнение называют основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Вычислим еще кинетическую энергию вращающегося твердого тела:

и работу внешней силы при повороте тела:

Плоское движение твердого тела. Плоское движение есть суперпозиция поступательного движенияцентра масс и вращательного движения в системе центра масс (см. разд. 1.2). Движение центра масс описываетсявторым законом Ньютона и определяется результирующей внешней силой (уравнение (11)).Вращательное движение в системе центра масс подчиняется уравнению (39), в котором надо учитывать только реальные внешние силы, так как момент сил инерции относительно центра масс равен нулю (аналогично моменту сил тяжести, пример 1 из разд. 1.6). Кинетическая энергия плоского движения равна уравнение Момент импульса относительно неподвижной оси, перпендикулярной плоскости движения, вычисляется по формуле (см. уравнение где - плечо скорости центра масс относительно оси, а знаки определяются выбором положительного направления вращения.

Движение с неподвижной точкой. Угловая скорость вращения, направленная вдоль оси вращения, меняет свое направление как в пространстве, так и по отношению к самому твердому телу. Уравнение движения

которое называют основным уравнением движения твердого тела с неподвижной точкой, позволяетузнать, как изменяется момент импульса Так как вектор в общем случае не параллелен вектору то для

замыкания уравнений движения надо научиться связывать эти величины друг с другом.

Гироскопы. Гироскопом называют твердое тело, быстро вращающееся относительно своей оси симметрии. Задачу о движении оси гироскопа можно решать в гироскопическом приближении: оба вектора направлены вдоль оси симметрии. Уравновешенный гироскоп (закрепленный в центре масс) обладает свойством безынерционно его ось перестает двигаться, как только исчезает внешнее воздействие ( обращается в нуль). Это позволяет использовать гироскоп для сохранения ориентации в пространстве.

На тяжелый гироскоп (рис. 12), у которого центр масс смещен на расстояние от точки закрепления действует момент силы тяжедти, направленный перпендикулярно Так как то и ось гироскопа совершают регулярное вращение вокруг вертикальной оси (прецессия гироскопа).

Конец вектора вращается по горизонтальной окружности радиусом а с угловой скоростью

Угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона оси а.

Зако́ны сохране́ния - фундаментальные физические законы, согласно которым при определённых условиях некоторые измеримые физические величины, характеризующие замкнутую физическую систему, не изменяются с течением времени.

· Закон сохранения энергии

· Закон сохранения импульса

· Закон сохранения момента импульса

· Закон сохранения массы

· Закон сохранения электрического заряда

· Закон сохранения лептонного числа

· Закон сохранения барионного числа

· Закон сохранения чётности

Момент силы

Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, равная про­изведению силы на ее плечо.

Момент силы определяют по формуле:

М - FI , где F - сила, I - плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения тела.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу надо приложить,

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м - ньютон-метр (Н м).

Правило моментов

Твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы М2, вращающей его против часовой стрелки:

М1 = -М2 или F 1 ll = - F 2 l 2 .

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние I между силами, которое называется плечом пары, независимо от того, на какие отрезки и /2 разделяет положение оси плечо пары:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то линейная скорость i -й точки , R i – расстояние до оси вращения. Следовательно,

Здесь I c – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Работа момента сил.

Работа силы.
Работа постоянной силы, действующей на прямолинейно движущееся тело
, где - перемещение тела, - сила, действующая на тело.

В общем случае, работа переменной силы, действующей на тело, движущееся по криволинейной траектории . Работа измеряется в Джоулях [Дж].

Работа момента сил, действующего на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси , где - момент силы, - угол поворота.
В общем случае .
Совершенная нат телом работа переходит в его кинетическую энергию.

Механические колебания.

Колеба́ния - повторяющийся в той или иной степени во временипроцесс изменения состояний системы.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления вдругую форму.

Отличие колебания от волны.

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны cволнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний иволн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.

Характеристики колебаний

Амплитуда (м) - максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого еёзначения для системы.

Промежуток времени (сек) , через который повторяются какие-либо показатели состояния системы(система совершает одно полное колебание), называют периодом колебаний.

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний (Гц, сек -1) .

Период колебаний и частота – обратные величины;

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая илициклическая частота (Гц, сек -1 , об/сек) , показывающая число колебаний за время 2π:

Фаза колебаний -- определяет смещение в любой момент времени, т.е. определяет состояниеколебательной системы.

Маятник мат физ пруж

. Пружинный маятник - это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид

Из формулы (1) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω 0 t+φ) с циклической частотой

и периодом

Формула (3) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (2) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна

2. Физический маятник - это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 1).

Рис.1

Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы

где J - момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα - возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления F τ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (4) запишем как

Принимая

получим уравнение

идентичное с (1), решение которого (1) найдем и запишем как:

Из формулы (6) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω 0 и периодом

где введена величина L=J/(ml ) - .

Точка О" на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называетсяцентром качаний физического маятника (рис. 1). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем

т. е. ОО" всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О" имеют свойство взаимозаменяемости : если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника.

3. Математический маятник - это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

где l - длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке - центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника

Сопоставляя формулы (7) и (9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Гар. колебания и харак.

Колебаниями называются движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы имеют широкое распространение в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. Д

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания некоторой величины s описываются уравнением вида

где ω 0 - круговая (циклическая) частота , А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания , φ - начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω 0 t+φ) - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы, которая совершает гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, имеющий название период колебания , за который фаза колебания получает приращение (изменение) 2π, т. е.

Величина, обратная периоду колебаний,

т. е. число полных колебаний, которые совершаются в единицу времени, называется частотой колебаний . Сопоставляя (2) и (3), найдем

Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, во время которого за 1 с совершается один цикл процесса.

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонического колебания называется наибольшее значение смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может принимать различные значения. Она будет зависеть от того, насколько мы сместим тело в начальный момент времени от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, то есть энергией сообщаемой телу в начальный момент времени. Так как синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, то в уравнении должен присутствовать множитель Xm, выражающий амплитуду колебаний. Уравнение движения при гармонических колебаниях:

x = Xm*cos(ω0*t).

Затух. колеб и их хар

Затухающие колебания

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

где β – коэффициент затухания

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

. где β – коэффициент затухания , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Частота затухающих колебаний :

В любой колебательной системе затухание приводит к уменьшению частоты и соответственно увеличению периода колебаний.

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний:

.

Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Амплитуда затухающих колебаний :

Для пружинного маятника .

Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.

При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в "e " раз ("е" – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды А зат. (t) и А зат. (t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда

Вынужденные колеб.

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.