Задание 1 . Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .

Задание 2 . Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.

Задание 3 . Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.

Задание 4 . Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .

Задача . Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x).

Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a:

или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3

Математическое ожидание .


Дисперсия .

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1 . Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется:

1. Определить коэффициент A .
2. найти функцию распределения F(x) .
3. схематично построить графики F(x) и f(x) .
4. найти математическое ожидание и дисперсию X .
5. найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение :

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

Найдем параметр A из условия:



или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14

Функцию распределения можно найти по формуле.

Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.

Вероятность события X < х (где X – значение , а х – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х , называется функцией распределения вероятностей :

F (x ) = Р (Х <х ).

Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности :

f (x ) = F" (x ).

Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:

х 1 , х 2) равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:

P (x 1 <X <x 2) = F (x 2) – F (x 1). (4)

3.1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:

Найти плотность вероятности f (x ) и вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

Решение . Плотность вероятности находим по формуле f (x ) = F" (x ):

Вероятности попадания случайной величины X в интервалы вычисляем по формуле (3.1):

Р (1 < X < 2,5) = F (2,5) – F (1) = 0,5 2 – 0 = 0,25;

Р (2,5 < X < 3,5) = F (3,5) – F (2,5) = 1 – 0,25= 0,75.

3.2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F (х ) и построить ее график.

Решение.

если ,

Если х > 2.

График функции представлен на рис. 3.1.

Рис. 3.1

3.3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана в виде

Найти параметр С.

Решение . На основании равенства

Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана

Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины X

М (Х ) = М х = ,

где f (x ) – плотность вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значение интеграла

D (X ) = D x = .

Для определения дисперсии может быть также использована формула

D x = .

Модой М 0 (Х X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

Медианой Мe (Х ) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, при котором выполняется равенство

Р (Х < Me ) = Р (Х > Me ).

3.4. Случайная величина X f (x ) = х /2 в интервале (0; 2), вне этого интервала f (x ) = 0. Найти математическое ожидание величины X .

Решение . На основании формулы

3.5. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x ) = x /8 в интервале (0; 4). Вне этого интервала f (x ) = 0. Найти математическое ожидание.

3.6. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x ) = при . Найти математическое ожидание.

3.7. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x ) = С (х 2 + 2х ) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f (x ) = 0. Найти параметр С .

Решение . Так как

Откуда С = .

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [а , b ], если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями

3.8. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке . Найти функцию распределения F (x ), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.

Решение . Плотность вероятности для величины X имеет вид:

Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле:

,

запишется следующим образом:

Математическое ожидание будет равно М х = (1 + 6)/2 = 3,5. Находим дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

D x = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Нормальное распределение

Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

где М х – математическое ожидание;

– среднее квадратичное отклонение.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (а , b ) находится по формуле

Р (а < X < b ) = Ф – Ф = Ф(z 2) – Ф(z 1), (5)

где Ф(z ) = – функция Лапласа.

Значения функции Лапласа для различных значений z приведены в Приложении 2.

3.9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно М х = 5, дисперсия равна D x = 9. Написать выражение для плотности вероятности.

3.10. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).

Решение . Используем формулу (21.2), учитывая, что М х = 12, = 2:

Р (14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. После подстановки получаем значение искомой вероятности:

Р (14 <Х < 16) = 0,1359.

3.11. Имеется случайная величина X , распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р = 0,9972 попадет случайная величина.

Решение . Так как Р (х 1 < Х < х 2) = р = 2Ф((х 2 – М х )/ ), то Ф(z ) = р /2 = 0,4986. По таблице функции Лапласа находим значение z , соответствующее полученному значению функции Ф(z ) = 0,4986: z = 2,98. Учитывая то, что z = (х 2 – М х )/ , определяем = х 2 – М х = z = 3 · 2,98 = 8,94. Искомый интервал будет иметь вид (11,06; 28,94).

Учтем, что f (x ) = F" (x ). Тогда получим:

Подставим в выражение для математического ожидания

.

Интегрируя по частям, получаем М х = 1/ , или М х = 1/0,1.

Для определения дисперсии проинтегрируем по частям первое слагаемое. В результате получим:

.

Учтем найденное выражение для М х . Откуда

.

В данном случае М х = 10, D x = 100.

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения F (x ) . Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда её называют дифференциальной функцией).

Определение4.1: Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x ) - первую производную от функции распределения F (x ) :

f ( x ) = F "( x ) .

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (a , b ), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b :

Доказательство: Используем соотношение

P (a ≤ X b ) = F (b ) – F (a ).

По формуле Ньютона-Лейбница,

Таким образом,

.

Так как P (a ≤ X b )= P (a X b ) , то окончательно получим

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a , b ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox , кривой распределения f (x ) и прямыми x = a и x = b .

Замечание: В частности, если f (x ) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

.

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).

Решение: Искомая вероятность

.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f (x ) , можно найти функцию распределения F (x ) по формуле

.

Действительно, F (x ) = P (X x ) = P (-∞ X x ) .

Следовательно,

.

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения , а именно:

f (x ) = F "(x ).

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Воспользуемся формулой

Если x ≤ a , то f (x ) = 0 , следовательно, F (x ) = 0 . Если a , то f(x) = 1/(b-a) ,

следовательно,

.

Если x > b , то

.

Итак, искомая функция распределения

Замечание: Получили функцию распределения равномерно распределенной случайной величины (см. равномерное распределение).

Свойства плотности распределения

Свойство 1: Плотность распределения - неотрицательная функция:

f ( x ) ≥ 0 .

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице:

.

Замечание: График плотности распределения называют кривой распределения .

Замечание: Плотность распределения непрерывной случайной величины также называют законом распределения.

Пример. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:

Найти постоянный параметр a .

Решение: Плотность распределения должна удовлетворять условию , поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство

.

Отсюда
. Найдём неопределённый интеграл:

.

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, искомый параметр

.

Вероятный смысл плотности распределения

Пусть F (x ) – функция распределения непрерывной случайной величины X . По определению плотности распределения, f (x ) = F "(x ) , или

.

Разность F (x +∆х) - F (x ) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) . Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) , к длине этого интервала (при ∆х→0 ) равен значению плотности распределения в точке х .

Итак, функция f (x ) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х . Из дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т.е.

Так как F "(x ) = f (x ) и dx = ∆ x , то F (x +∆ x ) - F (x ) ≈ f (x )∆ x .

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала ∆х .

Геометрически этот результат можно истолковать так : вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой f (x ).

5. Типовые распределения дискретных случайных величин

5.1. Распределение Бернулли

Определение5.1: Случайная величина X , принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q , называется Бернуллиевской :

, где k =0,1.

5.2. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p ).

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,… n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где k = 0,1,2,… n .

Определение5.2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Пример. По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.

Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где n = 3, p = 0,8 (вероятность попадания), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A
того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) значению функции
, где
,
.

Замечание1: Таблицы, в которых помещены значения функции
, даны в приложении 1, причем
. Функция является плотностью стандартного нормального распределения (смотри нормальное распределение).

Пример: Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Вычислим определяемое данными задачи значение x :
. По таблице приложения 1 находим
. Тогда искомая вероятность будет:

Если нужно вычислить вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k 1 раз и не более k 2 раз, то нужно использовать интегральную теорему Лапласа:

Интегральная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному интегралу

, где
и
.

Другими словами, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна

где
, и .

Замечание2: Функцию
называют функцией Лапласа (смотри нормальное распределение). Таблицы, в которых помещены значения функции , даны в приложении 2, причем
.

Пример: Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, если вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

;
.

Таким образом, имеем:

По таблице приложения 2 находим, что
и
. Тогда искомая вероятность равна:

Замечание3: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона (смотри распределение Пуассона).

5.3. Распределение Пуассона

Определение5.3: Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид:

, где
и
(постоянное значение).

Примеры Пуассоновских случайных величин:

Число вызовов на автоматическую станцию за промежуток времени T .

Число частиц распада некоторого радиоактивного вещества за промежуток времени T .

Число телевизоров, которые поступают в мастерскую за промежуток времени T в большом городе.

Число автомобилей, которые поступят к стоп-линии перекрестка в большом городе.

Замечание1: Специальные таблицы для вычисления данных вероятностей приведены в приложении 3.

Замечание2: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона:
, где
, то есть среднее число появлений событий остается постоянным.

Замечание3: Если есть случайная величина, которая распределена по закону Пуассона, то обязательно есть случайная величина, которая распределена по показательному закону и, наоборот (см. Показательное распределение).

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002 . Найти вероятность, что на базу прибудут ровно три негодных изделия.

Решение: По условию n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Найдем λ: λ = np = 5000·0,0002 = 1 .

По формуле Пуассона искомая вероятность равна:

, где случайная величина X – число негодных изделий.

5.4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 p

q = 1 - p . Испытания заканчиваются, как только появится событие А . Таким образом, если событие А появилось в k -м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А . Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х 1 = 1, х 2 = 2, …

Пусть в первых k -1 испытаниях событие А не наступило, а в k -м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P (X = k ) = q k -1 p .

Определение5.4: Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение , если ее закон распределения имеет следующий вид:

P ( X = k ) = q k -1 p , где
.

Замечание1: Полагая k = 1,2,… , получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0q . По этой причине распределение называют геометрическим.

Замечание2: Ряд
сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна
.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M N ). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь не применима).

Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,…, min ; обозначим их и, ... по значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел ...

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Общий психологический практикум»

Учебно-методический комплекс

... методические указания по выполнению практических работ 5.1 Методические рекомендации по выполнению учебных проектов 5.2 Методические рекомендации по ... чувствительности), одномерного и многомерного... случайного компонента в величине ... с разделом «Представление...

Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (название)

Учебно-методический комплекс

... разделов в учебниках. Решение задач по каждой теме. Проработка методических указаний к лабораторным работам по ... случайной и приборной погрешности измерений 1.8 Тематика контрольных работ и методические указания по ... Частица в одномерной потенциальной яме. ...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине информатика

Методические указания

... Методические указания к ЛАБОРАТОРНым РАБОТАМ по ... величиной , а наибольшей суммой величин ... массива случайными числами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномерный массив б) двумерный массив Рис. 2– Файлы... описываются в разделе реализации после...

1.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной вели­чины в окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины. В этом вопросе мы рассмотрим плотность распределения вероятности и её свойства.

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения . Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на элементарный участок
:

Составим отношение этой вероятности к длине участка
:

Полученное отношение называется средней вероятностью, которая приходится на единицу длины этого участка.

Считая функцию распределения F (х) дифференцируемой, перейдем в равенстве (1) к пределу при
; тогда получим:

Предел отношения вероятности попадания непрерыв­ной случайной величины на элементарный участок от х до х+∆х к длине этого участка ∆х , когда ∆х стремится к нулю, называется плотностью распределения случайной величины в точке х и обозначается f (x ).

В силу равенства (2) плотность распределения f (х) равна производной от функции распределения F (х), т. е.

.

Смысл плотности распределения f (х) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случай­ная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Кривая, изображающая плотность распределения f (х) случайной величины, называется кривой распределения. Примерный вид кривой распределения представлен на рис.1.

Заметим, что если возможные значения случайной величины заполняют некоторый конечный промежуток, то плотность распределения f (x ) = 0 вне этого про­межутка.

Выделим на оси абсцисс элементарный участок ∆х , примыкающий к точке х (рис. 2), и найдем вероятность попадания случайной величины X на этот участок. С одной стороны, эта вероятность равна приращению
функции распределения F (х), соответствующему приращению ∆ x = dx аргумента х. С другой стороны, вероятность попадания случайной величины X на эле­ментарный участок dx с точностью до бесконечно малых высшего порядка, чем ∆х равна f (x ) dx (так как ∆ F (x )≈ dF (х) = f (x ) dx ). Геометрически это есть площадь эле­ментарного прямоугольника с высотой f (x ) и основанием dx (рис. 2). Величина f (x ) dx называется элементом вероятности..

Следует обратить внимание на то, что не все случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, являются непрерывными случайными величинами. Встречаются такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы. Такие случайные величины называются смешанными. Так, например, в задаче обнаружения сигнала в шумах амплитуда полез­ного сигнала является смешанной случайной величиной X , которая может принимать любое значение, как положительное, так и отрицательное.

Дадим теперь более строго определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F (х\ непрерывна на всей оси Ох, а плотность распределения f (x ) существует везде, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что плотность распределения
есть производная от неубывающей функции распределения F (x ).

Свойство 2 . Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от – ∞ до х, т. е.

. (3)

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок
равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

. (4)

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Если интервал возможных значений случайной величины имеет конечные пределы а и b , то плотность распределения f (х) = 0 вне промежутка
и свойство 4 тогда можно записать так:

.

Пример . Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

.

Требуется:

1) Найти коэффициент а.

2) Найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до .

Решение . 1) Для определения коэффициента а вос­пользуемся свойством 4 плотности распределения:

,

откуда .

2) По формуле (4) имеем:

.

Модой
непрерывной случайной величины Х называется то её значение, при котором плотность распределения максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение, для которого равновероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , то есть:

Геометрически мода является абсциссой той точки кривой распределения, ордината которой максимальна (для дискретной случайной величины модой является абсцисса точки полигона с максимальной ординатой).

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Заметим, что если распределение является одномодальным и симметрическим, то математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

Отметим также, что третий центральный момент или асимметрия служит характеристикой «скошенности» распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то для кривой распределения (гистограммы)
. Четвертый центральный момент служит для характеристик островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Формулы для нахождения асимметрии и эксцесса были нами рассмотрены на предыдущей лекции.

2.Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон или закон распределения Гаусса, плотность вероятности которого имеет вид:

, (5)

где
– параметры нормального распределения.

Так как нормальное распределение зависит от двух параметров и
, то его называют ещё двухпараметрическим распределением.

Нормальный закон распределения применяется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие.

Докажем, что в формуле (5) параметр а является математическим ожиданием, а параметр
– среднеквадратическим отклонением:

.

Первый из интегралов равен нулю, так как подынтегральная функция является нечетной. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона:

.

Вычислим дисперсию:

.

График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса (рис.3).

Отметим некоторые свойства кривой:

1.Функция плотности распределения вероятностей определена на всей числовой оси, то есть
.

2.Область значений функции
, то есть кривая Гаусса располагается выше оси абсцисс и не пересекает её.

3. Ветви кривой Гаусса асимптотически стремятся к оси
, то есть

4.Кривая симметрична относительно прямой
. Таким образом для нормального распределения математическое ожидание совпадает с модой и медианой распределения.

5.Функция имеет один максимум в точке с абсциссой
, равный
. С возрастанием
кривая Гаусса становится более пологой, а при убывании
– более «островершинной».

6. Кривая Гаусса имеет две точки перегиба с координатами
и
.

7.Если при неизменном
изменять математическое ожидание, то кривая Гаусса будет сдвигаться вдоль оси
: вправо – при возрастании а , и влево – при убывании.

8.Асимметрия и эксцесс для нормального распределения равны нулю.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок
. Известно, что

.

.

Пользуясь заменой переменной

,

. (6)

Интеграл
не выражается через элементарные функции, поэтому для вычисления интеграла (6) пользуются таблицами значений специальной функции, которая называется функцией Лапласа , и имеет вид:

.

После несложных преобразований получим формулу для вероятности попадания случайной величины на заданный промежуток
:

. (7)

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1.
.

2.
является нечетной функцией.

3.
.

График функции распределения приведен на рис.4.

Пусть требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине не превосходит заданного положительного числа , то есть вероятность осуществления неравенства
.

Воспользуемся формулой (7) и свойством нечетности функции Лапласа:

.

Положим
и выберем
. Тогда получим:

.

Это означает, что для нормально распределенной случайной величины с параметрами а и
выполнение неравенства
является практически достоверным событием. В этом заключается так называемое правило «трех сигм».

Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }