Любое сложное аффинное преобразование, можно представить композицией нескольких элементарных аффинных преобразований. Анализ показывает, что в 2D-графике существуют четыре элементарные аффинные преобразования – поворот, растяжение, отражение, перенос.

Поворот .

Рассмотрим поворот произвольной точки A вокруг начала координат на угол(Рис. 6).

Элементарное аффинное преобразование – поворот на угол .

Из аналитической геометрии известно, что поворот описывается следующим аффинным преобразованием.

(5)

Удобно координаты точки объединить в виде 2-х мерного вектора (столбика). Тогда переход точки A в положение точкиA

(6)

В этих обозначениях поворот можно выразить в виде матричного умножения.

(7)

Здесь R – матрица поворота (Rotation- вращение). Структуру этой матрицы получаем из уравнений (5).

(8)

Растяжение-сжатие, масштабирование.

Рассмотрим операцию растяжения-сжатия вдоль координатных осей с коэффициентами растяжения k 1 ,k 2 . Часто эту операцию называют масштабированием (Scaling- масштабирование). Для примера покажем (Рис. 7) растяжение отрезка с коэффициентами растяжения равными
.

Элементарное аффинное преобразование – растяжение с коэффициентами
.

Растяжение описывается следующим аффинным преобразованием.

(9)

Преобразование (9) можно выразить в виде матричного умножения.

(10)

Здесь S – матрица масштабирования. Структуру этой матрицы получаем из уравнений (9).

(11)

Отражение.

Рассмотрим операцию отражения относительно координатных осей. Для примера покажем (Рис. 8) отражение относительно оси x .

Элементарное аффинное преобразование – отражение относительно оси Ox.

Отражение описывается следующим аффинным преобразованием.

(12)

Преобразование (12) можно выразить в виде матричного умножения.

(13)

Здесь M – матрица отражения (Mirror– зеркало, отражение). Структуру этой матрицы получаем из уравнений (12).

(14)

Аналогично находим матрицу отражения относительно оси y .

(15)

Перенос.

Рассмотрим операцию переноса на вектор трансляции
. При этой операции любой объект перемещается без искажения, и любая сторона остается параллельной самой себе. Для примера покажем на рисунке 9 перенос отрезка.

Элементарное аффинное преобразование – перенос на вектор трансляции t .

Перенос описывается следующим аффинным преобразованием.

(16)

Преобразование (16) нам хотелось бы выразить в виде матричного умножения тип.

(17)

Здесь T – должна быть матрицей трансляции (Translation– трансляция, перенос). Однако невозможно построить матрицуT размерностью 22, чтобы одновременно удовлетворялись уравнения (16) и (17).

И все же, такую матрицу можно создать, если формально рассматривать аффинные 2D-преобразования в 3-х мерном пространстве. Для этого надо перейти к однородным координатам.

Однородные координаты.

Понятие однородных координат пришло к нам из проективной геометрии. Пусть точка A лежит на плоскости и имеет координаты (x ,y ). Тогдаоднородными координатами этой точки называется любая тройка чиселx 1 ,x 2 ,x 3 , связанных с заданными числамиx иy следующими соотношениями.

(18)

При решении задач компьютерной графики в качестве однородных координат обычно выбирают следующую тройку чисел.

Таким образом, произвольной точке A (x ,y ) плоскости ставится в соответствие точкаA (x ,y , 1) в пространстве. По сути дела мы рассматриваем аффинные преобразования в плоскостиz = 1 , как это показано на рисунке 10.

Аффинное преобразование в однородных координатах.

Координаты точек лежащих в плоскости z = 1 объединяем в виде 3-х мерных векторов. Переход точкиA в положение точкиA * можно представить, как преобразование векторов.

(20)

В этих обозначениях общее аффинное преобразование (1) можно выразить в виде матричного умножения.

(21)

Здесь матрица P размерности 33 является матрицей общего аффинного преобразования (1) и имеет вид.

(22)

Отметим важный момент , связанный с однородными координатами. Переход к трехмерным векторам и матрицам (20, 21, 22) можно было выполнить совершенно формально, не привязываясь к реальному трехмерному пространству (x,y,z). Этот подход позволяет для 3D-аффинных преобразований ввести однородные координаты и производить матричные умножения в 4-х мерном векторном пространстве.

Введенные раньше матрицы элементарных аффинных преобразований, теперь в однородных координатах примут следующий вид.

Матрица поворота R в однородных координатах будет иметь следующий вид.

(23)

Матрица растяжения S изменится следующим образом.

(24)

Матрицы отражения M относительно координатных осей будут иметь вид.

(25)

Матрица переноса T на вектор трансляциив однородных координатах будет иметь следующий вид.

(26)

Глава I.Понятие о геометрическом преобразовании

1.1 Что такое геометрическое преобразование?

Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия имеют то общее, что все они „преобразуют" каждую фигуру Fв некоторую новую фигуру F1. Поэтому их называют геометрическими преобразованиями.

Вообще, геометрическим преобразованием называют всякое правило, позволяющее для каждой точки А на плоскости указать новую точку A", в которую переводится точка А рассматриваемым преобразованием. Если на плоскости задана какая-либо фигура F, то множество всех точек, в которые переходят тонки фигуры Fпри рассматриваемом преобразовании, представляет собой новую фигуру F., В этом случае говорят, что F" получается из F при помощи рассматриваемого преобразования.

Пример. Симметрия относительно прямой l является геометрическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке A найти соответствующую ей точку А", в этом случае заключается в следующем: из точки А опускается перпендикуляр АР на прямую lи на его продолжении за точку Р откладывается отрезок РА"=АР.

Сложение геометрических преобразований

Предположим, что мы рассматриваем два геометрических преобразования, одно из которых называем „первым", а другое - „вторым". Возьмем на плоскости произвольную точку А и обозначим через А" ту точку, в которую переходит А при первом преобразовании. В свою очередь точка А" переводится вторым преобразованием в некоторую новую точку А". Иначе говоря, точка А" получается из точки А при помощи последовательного применения двух преобразований - сначала первого, а затем второго.

Результат последовательного выполнения взятых двух преобразований также представляет собой геометрическое преобразование: оно переводит точку А в точку А". Это „результирующее" преобразование называется суммой первого и второго рассмотренных преобразований.

Пусть на плоскости задана какая-либо фигура F. Первое преобразование переводит ее в некоторую фигуру F" . Вторым преобразованием эта фигура F" переводится в некоторую новую фигуру F"". Сумма же первого и второго преобразований сразу переводит фигуру Fв фигуру F".

Пример. Пусть первое преобразование представляет собой симметрию относительно точки О1 а второе преобразование - симметрию относительно другой точки О2. Найдем сумму этих двух преобразований.

Пусть А - произвольная точка плоскости. Предположим сначала, что точка A не лежит на прямой O1O2. Обозначим через А" точку, симметричную точке А относительно О1, а через A" - точку, симметричную точке A" относительно О2 . Так как О1O2 - средняя линия треугольника АА"А"" то отрезок АА" параллелен отрезку О1O2 и имеет вдвое большую длину. Направление от точки А к точке А" совпадает с направлением от точки

О1 к точке О2. Обозначим теперь через МNтакой вектор, что отрезки MNи O1 O2 параллельны, отрезок МNв два раза длиннее отрезка O1О2 и лучи МNи O1O2 имеют одно и то же направление. Тогда АА" = МN, т. е. точка А" получается из точки А параллельным переносом на вектор МN.

То же справедливо и для точки, лежащей на прямой O1О2.

Окончательно мы получаем: сумма симметрии относительно точки O1 и симметрии относительно точки O2 представляет собой параллельный, перенос.

1.2 Движения

Осевая симметрия, поворот (в частности, центральная симметрия) и параллельный перенос имеют то общее, что каждое из этих преобразований переводит любую фигуру F на плоскости в равную ей фигуру F" . Преобразования, обладающие этим свойством, называются движениями. Гомотетия представляет собой пример преобразования, не являющегося движением. Действительно, каждое движение переводит любую фигуру в равную ей фигуру, т. е. изменяет лишь положение фигур на плоскости; гомотетия же изменяет и размеры фигур.

Роль движений в геометрии

Движения играют в геометрии чрезвычайно важную роль. Они не изменяют ни формы, ни размеров фигур, меняя лишь расположение фигуры. Но фигуры, отличающиеся лишь своим расположением на плоскости, с точки зрения геометрии совершенно одинаковы. Именно поэтому их и называют в геометрии «равными фигурами». Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Так, например, равные треугольники имеют не только одинаковые стороны, но и одинаковые углы, медианы, биссектрисы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей и так далее.

На уроках геометрии мы всегда считали равные фигуры (т. е. такие, которые можно совместить при помощи движения) одинаковыми или неразличимыми. Такие фигуры часто принимают за одну и ту же фигуру. Именно поэтому мы можем сказать, что, например, задача построения треугольника по двум сторонам а, bи заключенному между ними углу С имеет только одно решение. На самом деле, конечно, треугольников, имеющих данные стороны а и b и заключенный между ними угол С данной величины, можно найти бесконечно много. Однако все эти треугольники одинаковы, равны, поэтому их можно принять за «один» треугольник.

Таким образом, геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у равных фигур. Такие свойства можно назвать «геометрическими свойствами». Другими словами: геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Но фигуры, отличающиеся только расположением (равные фигуры), - это те, которые можно совместить с помощью движения. Поэтому мы приходим к следующему определению предмета геометрии; геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях.

Движения в геометрии и физике

Итак, понятие движения играет в геометрии первостепенную роль. Движения («наложения») использовались в VI классе для определения равных фигур, для доказательства признаков равенства треугольников; понятие движения, как мы видели выше, позволяет также дать описание предмета геометрии.

Между тем в определениях понятия равенства фигур и понятия движения имеется пробел. В самом деле, равные фигуры определялись (в VI классе) как такие фигуры, которые могут быть совмещены наложением (т. е. движением). Движения же были определены выше как такие преобразования, которые переводят два многоугольника F1 и Fтаковы, что существует многоугольник F", гомотетичный Fи равный F1 , то углы многоугольника Fсоответственно равны углам многоугольника F" и стороны многоугольника Fсоответственно, пропорциональны сторонам многоугольника F". Но у многоугольника F те же самые углы и стороны, что и у равного ему многоугольника F1. Следовательно, многоугольники F1и F подобны в том смысле, в каком это понималось в курсе геометрии VIII класса.

Обратно, пусть многоугольники F1 и F таковы, что их углы соответственно равны и стороны соответственно пропорциональны. Отношение сторон многоугольника F1 к соответствующим сторонам многоугольника Fобозначим через k. Далее, обозначим через F" многоугольник, получающийся из Fгомотетией с коэффициентом k (и каким угодно центром гомотетии. В таком случае в силу теоремы многоугольники F" и F1 будут иметь соответственно равные стороны и углы, т. е. эти многоугольники будут равны. Поэтому многоугольники F1 и Fбудут подобны и в смысле приведенного здесь определения подобия.

Глава II.Аффинные преобразования

2.1 Аффинные преобразования плоскости

Аффинным преобразованием α называется такое преобразование плоскости, которое всякую прямую переводит в прямую и сохраняет отношение, в котором точка делит отрезок.

На рис.1: L"= α(L), A"=α(A), B"=α(B), C"=α(C),

|

Преобразования - движение и подобие - являются частными случаями аффинных, так как в силу свойств движения и подобия для них выполнены все требования определения аффинных преобразований.

Приведем пример аффинного преобразования, не сводящегося к ранее рассмотренным. С этой целью сначала рассмотрим параллельное проектирование плоскости на плоскость.

Пусть даны плоскости: w и w1 прямая l(направление проектирования), не параллельная ни одной из этих плоскостей (рис.2). Точка Аєw называется проекцией точки А1єw1, если АА1||l , то прямая АА1 называется проектирующей прямой. Параллельное проектирование представляет собой отображение плоскости w1 на w.

Отметим следующие свойства параллельного проектирования.

1) Образом всякой прямой а1 является прямая.

В самом деле, прямые, проектирующие точки прямой а1, образуют плоскость (она проходит через а1 параллельно l), которая при пересечении с wдает образ прямой а1 – прямую а(рис.2).

2) Отношение, в котором точка делит отрезок, сохраняется, т.е.

(рис.2)

Сразу следует из теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми.

Перейдем непосредственно к построению примера аффинного преобразования.

Возьмем два экземпляра плоскости w и один из них переместим в другое положение w1(рис.3). Новое положение какой-либо точки Аєwобозначим А1єw1. Теперь плоскость w1 спроектируем в каком-нибудь положении на w, проекцию точки А1 обозначим А".

Получилось преобразование плоскости w на себя, при котором

. В силу симметричных свойств параллельного проектирования для данного преобразования выполняются оба требования определенного аффинного преобразования, следовательно, построенное сейчас преобразование –перспективно- аффинное.

Аффинное преобразование это такое преобразование, которое сохраняет параллельность линий, но не обязательно углы или длины.
В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю, принято обозначать символом 2D (2-dimension). Допустим, на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у) ее координат (рис. 1).

Указанные выше формулы можно рассматривать двояко: либо сохраняется точка и изменяется координатная система в этом случае произвольная точка М остается той же, изменяются лишь ее координаты (х, у) (х*, у*) , либо изменяется точка и сохраняется координатная система в этом случае формулы задают отображение, переводящее произвольную точку М(х, у) в точку М*(х*, у*), координаты которой определены в той же координатной системе. В дальнейшем будем интерпретировать формулы, как правило, что в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.
В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики. При исследовании геометрического смысла числовых коэффициентов в формулах для этих случаев удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой.
Наиболее часто применяются следующие приемы компьютерной графики: перенос, масштабирование, поворот, отражение. Алгебраические выражения и рисунки, поясняющие данные преобразования сведем в табл.1.

Аффинные преобразования на плоскости

Под переносом понимается смещение примитивов вывода на один и тот же вектор.
Масштабирование это увеличение или уменьшение всего изображения либо его части. При масштабировании координаты точек изображения умножаются на некоторое число.
Под поворотом понимается вращение примитивов вывода вокруг заданной оси. (В плоскости чертежа вращение происходит вокруг точки.)
Под отражением понимают получение зеркального отображения изображения относительно одной из осей (например X).
Выбор этих четырех частных случаев определяется двумя обстоятельствами:
1. Каждое из приведенных выше преобразований имеет простой и наглядный геометрический смысл (геометрическим смыслом наделены и постоянные числа, входящие в приведенные формулы).
2. Как доказывается в курсе аналитической геометрии, любое преобразование вида (*) всегда можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований вида А, Б, В и Г (или части этих преобразований).
Таким образом, справедливо следующее важное свойство аффинных преобразований плоскости: любое отображение вида (*) можно описать при помощи отображений, задаваемых формулами А, Б, В и Г.
Для эффективного использования этих известных формул в задачах компьютерной графики более удобной является их матричная запись.
Для объединения этих преобразований вводят однородные координаты. Однородными координатами точки называется любая тройка одновременно не равных нулю чисел x1 , x2 , x3 , связанных с заданными числами x и y следующими соотношениями:

Тогда точка M(х, у) записывается как M(hX, hY, h), где h 0 является масштабным множителем. Двумерные декартовы координаты могут быть найдены как

В проективной геометрии эти координаты вводятся для устранения неопределенностей, возникающих при задании бесконечноудаленных (несобственных) элементов. Однородные координаты можно интерпретировать как вложение промасштабированной с коэффициентом h плоскости в плоскость Z= h в трехмерном пространстве.
Точки в однородных координатах записываются трехэлементными вектор-строками. Матрицы преобразования должны иметь размер 3х3.
При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.
В самом деле, считая h = 1, сравним две записи: помеченную символом (*) и нижеследующую, матричную:

Теперь можно использовать композиции преобразований, применяя одно результирующее вместо ряда преобразований, следующих друг за другом. Можно, например, сложную задачу разбить на ряд простых. Поворот точки А около произвольной точки В можно разбить на три задачи:
перенос, при котором В= 0 (где 0-начало координат);
поворот;
обратный перенос, при котором точка В возвращается на место и т. д.
Композиция наиболее общего вида из операций Т, D, R, M имеет матрицу:

Верхняя часть размером 2х2 - объединенная матрица поворота и масштабирования, a tx и ty описывают суммарный перенос.
К изложенным фундаментальным преобразованиям сводятся следующие:
прокручивание перемещение окна на поверхности визуализации (если перемещение ограничено только направлениями вверх и вниз, то оно называется вертикальным прокручиванием);

трансфокация постепенное изменение масштаба изображения;
кувыркание динамическое изображение примитивов вывода, вращающихся вокруг некоторой оси, ориентация которой непрерывно изменяется в пространстве;
панорамирование постепенный перенос изображения с целью создания зрительного ощущения движения.

Для начала: на чем основывается метод решения с помощью аффинных преобразований?

Необходим некий краткий теоретический материал для учащихся.

Сообщаем, что система координат не обязательно должна быть прямоугольной. Если выбрать на плоскости 3 точки , не лежащие на одной прямой, то они и будут задавать аффинную систему координат, а точка и векторы и образуют аффинный репер (базис).

Определение 1. Пусть в плоскостях и заданы два аффинных репера и , соответственно. Отображение плоскости на плоскость называется аффинным отображением плоскостей, если при этом отображении точка с координатами в системе координат (репере ) переходит в точку с теми же координатами в системе координат (репере ).

Свойства аффинных преобразований:

1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость:

Каждая точка имеет образ и притом только один;

Разные точки имеют разные образы;

Каждая точка области значений имеет прообраз.

2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую.

3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.

4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые - в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные.

5)При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.

6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются.

7) Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.

Замечание 1: Если А, В, С - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, а - три другие точки, не лежащие на одной прямой, то существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее точки А, В, С в точки .

Замечание 2: Параллельное проектирование есть аффинное преобразование плоскости на плоскость. Кстати эта тема “Параллельное проектирование” присутствует в школьном учебнике геометрии 10-11(2000) Л. С. Атанасяна в приложении 1. В основном этот материал используется тогда, когда мы учим изображать пространственные фигуры на плоскости.

Чтобы представить, что могут аффинные преобразования, посмотрим картинки. Учащимся лучше всего именно наглядно показать применение аффинных преобразований на отвлеченном предмете и только потом переходить на геометрические фигуры.

Частным случаем аффинных преобразований являются преобразование подобия, гомотетия и движения. Движения - это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации. Другой важный случай аффинных преобразований - это растяжения и сжатия относительно прямой. На рисунке 2 <Рисунок 2> показаны различные движения плоскости с нарисованным на ней домиком. А на рисунке 3 и 4 <Рисунок 3> <Рисунок 4>показаны различные аффинные преобразования этой плоскости (параллельное проектирование).

А вот на следующей картинке <Рисунок 5> можно объяснить суть метода.

Если перед вами стоит задача о вычислении каких-то соотношений или пропорций на искаженном рисунке, например: найти отношение длины ушей к длине хвоста, то можно найти это отношение на более удобном рисунке (неискаженном), что намного проще, и найденное решение будет соответствовать и искаженному рисунку в том числе. Но нельзя искать отношение, например, длины ушей к толщине зайца, т.к. это отрезки непараллельных прямых.

Теперь перейдем к геометрическим фигурам. Как на них может работать этот метод?

Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, отношение площадей, доказать параллельность или принадлежность точек одной прямой. Причем в условии задачи не должны содержаться данные, не сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.

Свойства фигур называются аффинными, если они сохраняются при аффинных отображениях. Например, быть медианой треугольника- это аффинное свойство (середина стороны переходит в середину при аффинном отображении), а быть биссектрисой – нет.

Суть метода при решении геометрических задач.

Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.

Для начала можно решить всем известную задачу о точке пересечения медиан треугольника.

Задача 1. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. <Рисунок 6>

Решение (по алгоритму).

Пусть дан треугольник ABC. 1) Проверим аффинные свойства фигуры. Треугольник (по замечанию 1) является аффинной фигурой, быть медианой - это тоже аффинное свойство и отношения длин отрезков также сохраняется при аффинном отображении.

2) Значит, можно перейти к более удобной фигуре - равностороннему треугольнику.

3) Возьмем равносторонний треугольник . У этого треугольника медианы , пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Действительно, и . А отношение из прямоугольного треугольника . Значит, .

4) Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника переходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы произвольного треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

5) Утверждение для произвольного треугольника доказано.

Задача 2. Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой M и N – середины оснований, Q – точка пересечения диагоналей, О – точка пересечения продолжений боковых сторон. <Рисунок 7>

1) Проверим аффинные свойства фигуры. Трапеция - аффинная фигура (так как трапеция переходит в трапецию), принадлежность точек одной прямой является аффинным свойством. Таким образом, и условие, и вопрос задачи относятся к аффинному классу задач. Значит, можно применить метод аффинных преобразований.

2) Возьмем произвольный равнобедренный треугольник . Существует аффинное отображение, переводящее точки А в , В в , О в . При этом аффинном отображении на отрезке существует точка - образ точки D, а на отрезке - точка (образ точки С). Трапеция равнобокая.

3) Доказать сформулированную задачу для равнобокой трапеции труда не составит (при чем не одним способом).

4) Таким образом, доказав, что точки , , , лежат на одной прямой, применим свойство аффинных отображений (отображение, обратное к аффинному, есть снова аффинное отображение) и поэтому точки O, M, Q, N также лежат на одной прямой трапеции ABCD.

5) Доказанный факт справедлив и для произвольной трапеции.

Примечание. Четырехугольники аффинно эквивалентны тогда и только тогда, когда точка пересечения диагоналей делит их в одном и том же отношении.

Задача 3 (из диагностической работы по подготовке к ЕГЭ-2010). Через точку О, лежащую в треугольнике АВС, проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1; 2.25 и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов (задача из диагностической работы по подготовке к ЕГЭ - 2010)

Но эту задачу легко решить с помощью аффинных преобразований.

Задача 4 (стереометрическая). Докажите, что диагональ параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан треугольников и и делится этими точками на три равных отрезка.

Это №372 из учебника Атанасяна (11 класс). В учебнике дано ее решение векторным методом. Но можно применить метод аффинных преобразований, решив эту задачу на кубе уже в 10 классе.

В этой задаче с помощью аффинных преобразований докажем равенство трех отрезков.

1) Проверим аффинные свойства фигуры и условия задачи. Аффинным образом любого параллелепипеда может быть куб. Деление отрезка в заданном отношении – это аффинное свойство.

2) Рассмотрим одноименный куб , в котором диагональ проходит через точки пересечения медиан треугольников и . <Рисунок 10>

3) Докажем, что диагональ делится этими точками на три равных отрезка.

4) Существует аффинное отображение, переводящее куб в произвольный параллелепипед. Значит, эта задача будет верна и для произвольного параллелепипеда.

5) Обобщения. Какие свойства, доказанные на кубе, сохранятся для произвольного параллелепипеда, а какие нет (обсудить с учащимися).

Например: параллельность плоскостей и отношение сохранится, перпендикулярность диагонали плоскостям нет, правильные треугольники не сохранятся, так же как и центр правильного треугольника, он перейдет в точку пересечения медиан.

Таким образом, уже в 10 классе можно делать с учащимися обобщения для произвольных фигур, пользуясь свойствами аффинных отображений.

Мы рассмотрели задачи программного уровня, а теперь рассмотрим задачи продвинутого уровня.

Вот задача, предложенная учащимся 11-го класса на олимпиаде в этом году. Никто, к сожалению, с ней не справился. Посмотрим, как метод аффинных преобразований поможет нам ее решить.

Задача 5 (олимпиада 11 класс). Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1,3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7 , 12:5, 12:1

А решение с помощью аффинных преобразований мы рассмотрим.

1) В задаче фигурирует произвольная пирамида, в которой проведены медианы (а быть медианой - это аффинное свойство), на медианах взяты пропорциональные отрезки (при аффинном преобразовании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой). Значит, эту задачу можно решить для “удобной” пирамиды, а затем с помощью аффинного преобразования перенести результат на произвольную.

2) Решим задачу для пирамиды, у которой три плоских угла при вершине прямые. Поместим новую пирамиду в прямоугольную систему координат OXYZ. <Рисунок 11>

3) Проведем медиану на одной из граней. и - средние линии треугольника АОВ. Точка , такая что . Тогда координаты точки К или, учитывая, что и середины соответственно ОА и ОВ, К.На другой грани проведем медиану . На ней отметим точку М, такую что . Аналогично находим координаты М или М .Наконец, точка N лежит на медиане и , тогда N или N.

Итак: Кили К , Мили М

N или N

Анализируя, выберем сами удобные числовые координаты для точек А(40;0;0), В(0;15;0), С(0;0;24).

Плоскость (MNK) пересекает ребра пирамиды в неких точках . Найдем сначала координаты точки (х; 0; 0). Точка (KMN), если существуют такие, что, допустим (это векторы). Запишем координаты векторов (15; -5; 1), (16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений . Решаем ее: умножим второе уравнение на 8, получим .Далее, сложив второе и третье, имеем. Откуда найдем и х .

Нам надо найти отношение
. Значит, точка делит ребро ОА в отношении 12:1. Вычисления тоже приличные, но понятные. Аналогично можно найти отношения и для двух других сторон.

Решив задачу на “удобной” пирамиде, учитывая, что существует аффинное преобразование, переводящее эту пирамиду в произвольную, переносим результат на произвольную пирамиду.

Если бы в условии данной задачи была предложена “удобная” пирамида, наверное, кто-то из учеников сделал хотя бы попытки решить задачу.Метод аффинных преобразований позволяет трудные факты свести к легкому доказательству.

Например, доказать следующую задачу 6 : Пусть заданы два треугольника АВС и в одной плоскости. Прямые, проходящие через соответсвующие вершины этих треугольников пересекаются в одной точке S. Если прямые, содержащие соответсвующие стороны этих треугольников попарно пересекаются, то точки пересечения лежат на одной прямой. . Ачтобы доказать принадлежность трех точек одной прямой, построим пересечение плоскостей АВС и (так как две плоскости пересекаются по прямой).

Построение.1) , 2) , 3)

В пересечении плоскостей три точки, следовательно, они лежат на одной прямой. Эта задача (теорема Дезарга) доказана.

В продолжение такого применения аффинных преобразований (решение пространственной задачи как планиметрической) можно рассмотреть еще одну интересную задачу.

Задача (Соросовская олимпиада)

Даны три луча в плоскости и три точки A, B, C. Построить треугольник с вершинами на этих лучах, стороны которого проходят через точки A, B, C соответственно (помощью одной линейки).

То есть картинка должна быть примерно такая. <Рисунок 13>

Будем рассматривать эту картинку как аффинный образ (при некотором аффинном отображении) пирамиды XOYZ на плоскость. Вершины пирамиды лежат на осях координат, а точки А, В, С - точки в координатных плоскостях. Тогда задача сводится к тому, чтобы построить линии пересечения плоскости (АВС) с координатными плоскостями. Существует, конечно, способ построения с помощью циркуля и линейки, но нам он не нужен. Итак, без циркуля.

Выводы.

Итак, вам был представлен метод решения задач с помощью аффинных преобразований. Подведем итоги.

• Метод позволяет перейти от более сложного к более простому для осуществления процесса решения.
• Носит обобщающий характер.
• Имеет широкую область применения, в том числе в смежных областях.
• Позволяет интегрировать разные разделы математики.
• Осмысление и применение данного метода формирует у учащихся конструктивный подход к решению задач и критичность мышления.

Литература

1. Геометрия: Учеб.для 10-11 кл.общеобразоват.учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -М.: Просвещение, 2007.
2. И. Кушнир “Математическая энциклопедия”. Астарта. Киев.1995.
3. Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”. Издательство “Мир”. Москва.1970.

В этой статье я расскажу об одной необычной формуле, которая позволяет взглянуть под новым углом на аффинные преобразования, а особенно на обратные задачи, которые возникают в связи с этими преобразованиями. Обратными я буду называть задачи, требующие вычисления обратной матрицы: нахождение преобразования по точкам, решение системы линейных уравнений, преобразование координат при смене базиса и т.д. Сразу оговорюсь, что в статье не будет ни фундаментальных открытий, ни уменьшения алгоритмической сложности - я просто покажу симметричную и легко запоминающуюся формулу, с помощью которой можно решить неожиданно много ходовых задач. Для любителей математической строгости есть более формализованное изложение здесь (ориентированно на студентов) и небольшой задачник вот здесь .

Аффинное преобразование обычно задается матрицей и вектором трансляции и действует на вектор‑аргумент по формуле

Впрочем, можно обойтись и без , если воспользоваться аугментированной матрицей и однородными координатами для аргумента (как хорошо известно пользователям OpenGL). Однако оказывается, кроме этих форм записи можно ещё использовать детерминант особой матрицы, в которой содержатся как координаты аргумента, так и параметры, задающие преобразование. Дело в том, что детерминант обладает свойством линейности по элементам любой своей строки или столбца и это позволяет использовать его для представления аффинных преобразований. Вот, собственно, как можно выразить действие аффинного преобразования на произвольный вектор :

Не спешите убегать в ужасе - во‑первых, здесь записано преобразование, действующее на пространствах произвольной размерности (отсюда так много всего), а во‑вторых, хотя формула и выглядит громоздко, но просто запоминается и используется. Для начала, я выделю логически связанные элементы рамками и цветом

Итак, мы видим, что действие любого аффинного преобразования на вектор можно представить как отношение двух детерминантов, при чем вектор‑аргумент входит только в верхний, а нижний - это просто константа, зависящая только от параметров.

Выделенный синим цветом вектор - это аргумент, вектор на который действует аффинное преобразование . Здесь и далее нижние индексы обозначают компоненту вектора. В верхней матрице компоненты занимают почти весь первый столбец, кроме них в этом столбце только ноль (сверху) и единица (снизу). Все остальные элементы в матрице - это векторы‑параметры (нумеруются верхним индексом, взятым в скобки, чтобы не перепутать со степенью) и единицы в последней строке. Параметры выделяют среди множества всех аффинных преобразований то, которое нам нужно. Удобство и красота формулы в том, что смысл этих параметров очень прост: они задают аффинное преобразование, которое переводит векторы в . Поэтому векторы , мы будем называть «входными» (в матрице они обведены прямоугольниками) - каждый из них покомпонентно записан в своём столбце, снизу дописывается единица. Сверху же записываются «выходные» параметры (выделены красным цветом) , но теперь уже не покомпонентно, а как цельная сущность.

Если кого‑то удивляет такая запись, то вспомните о векторном произведении

Где была очень похожая структура и первую строку точно так же занимали векторы. При этом необязательно, чтобы размерности векторов и совпадали. Все детерминанты считаются как обычно и допускают обычные «трюки», например, к любому столбцу можно прибавить другой столбец.

С нижней матрицей всё предельно просто - она получается из верхней вычёркиванием первой строки и первого столбца. Недостаток в том, что приходится считать детерминанты, однако если эту рутинную задачу переложить на компьютер, то окажется, что человеку останется лишь правильно заполнить матрицы числами из его задачи. При этом с помощью одной формулы можно решить довольно много распространенных на практике задач:

Аффинное преобразование по трем точкам на плоскости

Под действием неизвестного аффинного преобразования три точки на плоскости перешли в другие три точки. Найдем это аффинное преобразование.
Для определенности, пусть наши входные точки

а результатом действия преобразования стали точки

Найдем аффинное преобразование .

На самом деле, решать эту задачу можно по‑разному: с помощью системы линейных уравнений, барицентрических координат… но мы пойдем своим путем. Думаю, по использованным обозначениям Вы догадываетесь к чему я клоню: берём уравнение для размерности и подставляем в качестве входных параметров, а - в качестве выходных

а дальше остается лишь посчитать детерминанты
Намётанный глаз легко обнаружит здесь поворот на и трансляцию на .

Когда формула применима?

Входные и выходные векторы могут иметь разную размерность - формула применима для аффинных преобразований, действующих на пространствах любой размерности. Впрочем, входных точек должно быть достаточно и они не должны «слипаться»: если аффинное преобразование действует из -мерного пространства - точки должны образовывать невырожденный симплекс из точки. Если это условие не выполнено, то однозначно восстановить преобразование невозможно (никаким методом вообще, не только этим) - формула предупредит об этом нулём в знаменателе.

Зачем восстанавливать аффинные преобразования программисту?

Часто нужно найти преобразование между двумя картинками (для расчёта положения камеры, например). Если у нас найдётся несколько надёжных особых точек (фич) на этих изображениях, ну или просто не хочется начинать сразу с ранзаков и борьбы с аутлаерами, то вполне можно использовать эту формулу.

Таким образом, формула прячет в себе обратную матрицу и умножение на еще одну матрицу в придачу. Это выражение и есть стандартное решение задачи нахождения линейного преобразования по точкам. Заметьте, что делая вторую матрицу в произведении единичной, мы получим просто обратную матрицу. С ее помощью решается система линейных уравнений и задачи, которые к ней сводятся: нахождение барицентрических координат, интерполяция полиномами Лагранжа, и т.д. Однако, представление в виде произведения двух матриц, не даёт нам получить те самые «два взгляда», связанные с разложением по первой строке и по первому столбцу.

Интерполяция Лагранжа и ее свойства

Напомню, что интерполяция Лагранжа - это нахождение полинома наименьшей степени проходящего через точки , , , . Не то чтобы это была распространённая в программистской практике задача, но всё равно давайте ее рассмотрим.

Как связаны полиномы и линейные преобразования?

Дело в том, что полином
можно рассматривать как линейное преобразование, которое отображает вектор в . Значит задача интерполяции точек , , , сводится к нахождению такого линейного преобразования, что

а это мы делать умеем. Подставим правильные буквы в правильные ячейки и получим формулу

Доказательство, что это будет именно полином Лагранжа (а не чей‑то другой), можно посмотреть в . Кстати, выражение в знаменателе - это определитель Вандермонда. Зная это и разложив детерминант в числителе по первой строке, придем к более привычной формуле для полинома Лагранжа.

Задача на полином Лагранжа

Сложно ли этим пользоваться? Давайте попробуем силы на задаче: найти полином Лагранжа, проходящий через точки , и .

Подставим эти точки в формулу

На графике всё будет выглядеть так.

Свойства полинома Лагранжа

Разложив верхний детерминант по первой строке и первому столбцу, мы взглянем на полином Лагранжа с двух разных сторон. В первом случае получим классическую формулу из Википедии, а во втором - запись полинома в виде суммы одночленов , где

А ещё мы теперь можем сравнительно просто доказывать довольно замысловатые утверждения. Например, в в одну строчку доказывается, что сумма базисных полиномов Лагранжа равна единице и что полином Лагранжа, интерполирующий , , , имеет в нуле значение . Ну и не Лагранжем единым - подобный подход можно применить к интерполяции синусами‑косинусами или какими‑то другими функциями.

Заключение

Спасибо всем, кто дочитал до конца. В этой статье мы решали стандартные задачи с помощью одной нестандартной формулы. Мне она понравилась тем, что, во‑первых, показывает, что аффинные(линейные) преобразования, барицентрические координаты, интерполяция и даже полиномы Лагранжа тесно связаны. Ведь когда решения задач записываются единообразно, мысль об их сродстве возникает сама собой. Во‑вторых, большую часть времени мы просто расставляли входные данные в правильные ячейки без дополнительных преобразований.

Задачи, которые мы рассматривали, можно решить и вполне привычными методами. Однако, для задач небольшой размерности или учебных задач формула может быть полезной. Кроме того, мне она кажется красивой.