Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
8 класс Л.С. Атанасян Геометрия 7-9 Вписанная и описанная окружности
О D В С Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник. А E А многоугольник называется описанным около этой окружности.
D В С Какой из двух четырехугольников АВС D или АЕК D является описанным? А E К О
D В С В прямоугольник нельзя вписать окружность. А О
D В С Какие известные свойства нам пригодятся при изучении вписанной окружности? А E О К Свойство касательной Свойство отрезков касательных F P
D В С В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. А E О a a R N F b b c c d d
D В С Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника. А О № 695 В C+AD=15 AB+DC=15 P ABCD = 30 см
D F Найти FD А О N ? 4 7 6 5
D В С Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус вписанной окружности. А В C+AD=1 0 AB+DC=1 0 2 8 5 5 2 N F 3 3 4 S L О
D В С Верно и обратное утверждение. А О Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. ВС + А D = АВ + DC
D В С Можно ли в данный четырехугольник вписать окружность? А О 5 + 7 = 4 + 8 5 7 4 8
В С А В любой треугольник можно вписать окружность. Теорема Доказать, что в треугольник можно вписать окружность Дано: АВС
K В С А L M О 1) ДП: биссектрисы углов треугольника 2) С OL = CO М, по гипотенузе и ост. углу О L = M О Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника 3) МОА = КОА, по гипотенузе и ост. углу МО = КО 4) L О= M О= K О точка О равноудалена от сторон треугольника. Значит, окружность с центром в т.О проходит через точки K, L и M . Стороны треугольника АВС касаются этой окружности. Значит, окружность является вписанной АВС.
K В С А В любой треугольник можно вписать окружность. L M О Теорема
D В С Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. А № 69 7 F r a 1 a 2 a 3 r О r … + К
О D В С Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника. А E А многоугольник называется вписанным в эту окружность.
О D В С Какой из многоугольников, изображенных на рисунке является вписанным в окружность? А E L P X E О D В С А E
О А В D С Какие известные свойства нам пригодятся при изучении описанной окружности? Теорема о вписанном угле
О А В D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . С + 360 0
59 0 ? 90 0 ? 65 0 ? 100 0 D А В С О 80 0 115 0 D А В С О 121 0 Найти неизвестные углы четырехугольников.
D Верно и обратное утверждение. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно вписать окружность. А В С О 80 0 100 0 113 0 67 0 О D А В С 79 0 99 0 123 0 77 0
В С А Около любого треугольника можно описать окружность. Теорема Доказать, что можно описать окружность Дано: АВС
K В С А L M О 1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам ВО = СО 2) В OL = CO L , по катетам 3) СОМ = А O М, по катетам СО = АО 4) ВО=СО=АО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника. Значит, окружность с центром в т.О и радиусом ОА пройдет через все три вершины треугольника, т.е. является описанной окружностью.
K В С А Около любого треугольника можно описать окружность. L M Теорема О
О В С А О В С А № 702 В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС = 134 0 134 0 67 0 23 0 б) АС = 70 0 70 0 55 0 35 0
О В С А № 703 В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС = 102 0 . 102 0 51 0 (180 0 – 51 0) : 2 = 129 0: 2 = 128 0 60 / : 2 = 64 0 30 /
О В С А № 704 (a) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О – середина гипотенузы. 180 0 д и а м е т р
О В С А № 704 (б) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d , а один из острых углов треугольника равен. d
О С В А № 705 (а) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см. 8 6 10 5 5
О С А В № 705(б) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=18 см, 18 30 0 36 18 18
О В С А Боковые стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см. Найти радиус описанной около него окружности. 180 0 3 3
О В С А Радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на чертеже, равен 2 см. Найти сторону АВ. 180 0 2 2 45 0 ?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация к уроку включает определения основных понятий, создание проблемной ситуации, а также развитие творческих способностей учащихся....
Рабочая программа по элективному курсу по геометрии «Решение планиметрических задач на вписанные и описанные окружности» 9 класс
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в...
На каком рисунке окружность вписана в треугольник?
Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.
Теорема. В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.
Дано: АВС
Доказать: существует Окр.(О; r),
вписанная в треугольник
Доказательство:
Проведём биссектрисы треугольника:АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .
По свойству (замечательная точка треугольника)
биссектрисы пересекаются в одной точке – О,
и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е:
ОК = ОЕ = ОР, где ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, значит,
О – центр окружности, а АВ, ВС, АС – касательные к ней.
Значит, окружность вписана в АВС.
Дано: Окр.(О; r) вписана в АВС,
р = ½ (АВ + ВС + АС) – полупериметр.
Доказать: S ABC = p · r
Доказательство:
соединим центр окружности с вершинами
треугольника и проведём радиусы
окружности в точки касания.
Эти радиусы являются
высотами треугольников АОВ, ВОС, СОА.
S ABC = S AOB +S BOC + S AOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =
= ½ (AB + BC + AC) · r = ½ p · r.
Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см
вписана окружность. Найдите её радиус.
Вывод формулы для радиуса вписанной в треугольник окружности
S = p · r = ½ P · r = ½ (a + b + c) · r
2S = (a + b + c) · r
Нужная формула для радиуса окружности,
вписанной в прямоугольный треугольник
- катеты, с - гипотенуза
Определение: окружность называется вписанной в четырёхугольник, если все стороны четырёхугольника касаются её.
На каком рисунке окружность вписана в четырёхугольник:
Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность,
то суммы противоположных сторон
четырёхугольника равны ( в любом описанном
четырёхугольнике суммы противоположных
сторон равны).
АВ + СК = ВС + АК.
Обратная теорема: если суммы противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника равны,
то в него можно вписать окружность.
Задача: в ромб, острый угол которого 60 0 , вписана окружность,
радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба.
Реши задачи
Дано: Окр.(О; r) вписана в АВСК,
Р АВСК = 10
Найти: ВС + АК
Дано: АВСМ описан около Окр.(О; r)
BC = 6, AM = 15,
Cлайд 1
Cлайд 2
Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на этой окружности. Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.Cлайд 3
Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказательство: Проведём серединные перпендикуляры p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (замечательная точка треугольника): они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС. Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит, они лежат на окружности с центром О. Значит, окружность описана около треугольника АВС.Cлайд 4
Важное свойство: Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то её центр – середина гипотенузы. R = ½ AB Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см.Cлайд 5
Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности Задача: найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см. Решение:Cлайд 6
Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника. Решение: Т. к. окружность описана около равнобедренного треугольника АВС, то центр окружности лежит на высоте ВН. АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО = = 16 – 10 = 6 (см) АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), SАВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см2)Cлайд 7
Определение: окружность называется описанной около четырёхугольника, если все вершины четырёхугольника лежат на окружности. Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800. Доказательство: Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.Cлайд 8
Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. Доказательство: № 729 (учебник) Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?
OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" class="link_thumb"> 8 Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>" title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>"> title="Теорема 1 Доказательство: 1) а – серединный перпендикуляр к АВ 2) b – серединный перпендикуляр к BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O серединному перпендикуляру к AC => около тр. ABC можно описать окружность ba =>OA=OC =>">
Свойства треугольника и трапеции, вписанных в окружность Центр окр-ти, описанной около п/у тр- ка, лежит на середине гипотенузы Центр окр-ти, описанной около остроугольного тр-ка, лежит в тр-ке Центр окр-ти, описанной около тупоугольного тр-ка, не лежит в тр-ке Если около трапеции можно описать окр-ть, то она равнобедренная